僕も気になっていたんで、試してみました。


以下を行うtamesi.phpファイルを作成して動作を確認しました。

・pdoでsqliteのdb接続（指定名のdbファイルがない場合自動作成）
・CREATE文でテーブル（macsというテーブル）を作成
・macsテーブルに、INSERT文でデータを追加
・SELECT文でmacsテーブルの全データを取得
・それを変数に格納し、var_dump関数で表示して確認。

これらを行うphpファイルをエックスドメインサーバーにアップロードして、実際にそのURLにアクセスしてみるとちゃんとINSERTしたデータが見れました。

そしてエックスドメイン内のsqliteのdbデータもtamesi.phpと同じ場所に作成されていました。

バックアップできるかを試したかったので、そのdbデータをftpソフトで自分のパソコンにダウンロードしました。
それをローカル環境に入れてSELECT文で取得→var_dump関数で確認すると、無事エックスドメイン上でINSERTしたデータが表示されました。

これらの事から、エックスドメイン上でsqliteは使えるようです。



以下はバックアップに関する比較をmysqlとしてみた余談です。（不要なら読み飛ばしてくださいね）

エックスドメインはphpadominを使えるようにしてくれているので、MySqlでのdbは楽に操作できます。
が、このphpAdominではdbデータ容量がとても大きい場合、dbを一気（一回で全データ）にエクスポート（バックアップ）できない可能性が高いです。
（実際に試してはいませんが、phpAdominはそういう事が多いと聞きますし、私も一度経験があります。）

そういった意味ではphpファイルと同じサーバー内にdbデータが作成されるsqliteの方がftpでダウンロードすればバックアップとれるので、楽かと思います。
ただ、sqliteは複数のユーザーから書き込みや変更などアクセスがあった場合に弱いそうです。（sqliteでの運用がないのでただの知識です。すいません）

そういう意味ではMysqlの方がいいかもしれません。

あと、sqliteはMysqlと違ってパスワードとかがないので、セキュリティはしっかりと行う必要があるそうです。
まだまだ勉強不足ゆえご存知な事を書いているかもしれません。

長文失礼しました。

ごめんなさい。「HTMLサーバーでのSQLiteの使用」ですね。
phpのほうだと勘違いしてました。ごめんなさい。

PHPのサーバーでもHTMLとjavascriptは使えるのでphpサーバーをレンタルされてはいかがでしょうか？
phpでsqlite操作をするファイルを作り、javascriptからajax通信すれば運用は可能かと思います。

ただ、phpが未経験でしたら新たに学習が必要になるデメリットはあります。